(3-20)                                            

به بيان ديگر را به گونه‌اي انتخاب مي‌كنيم كه فرم كوادراتيك (درجه دو) مذكور در بالا حداقل گردد. براحتي مي‌توان نشان داد كه:

(3-21)            

نکته مهم : برای بهره گیری از متن کامل پژوهش یا مقاله می توانید فایل ارجینال آن را از پایین صفحه دانلود کنید. سایت ما حاوی تعداد بسیار زیادی مقاله و پژوهش دانشگاهی در رشته های مختلف می باشد که می توانید آن ها را به رایگان دانلود کنید

                                                   

اقدام حداقل كردن با مساوي صفر قرار دادن مشتقات جزئي حاصل مي‌گردد كه در نتيجه خواهيم داشت:

(3-22)                                                                                  

مادامي كه داراي رتبه كامل بوده و وجود داشته باشد (دترمينان غير صفر باشد) بدست آوردن عبارتي بر حسب ممكن خواهد بود. اين امر معادل می باشد با مستقل خطي بودن دستگاه معادلات (براي عرض از مبدا و ضرائب زاويه‌اي) بنابراين:

(3-23)                                                                         

براي حصول اطمينان از اينكه مينيمم مورد نظر بدست آمده می باشد مي‌توان مشتق جزئي ثانويه را به قرار زير محاسبه نمود.

(3-24)                                                                         

با در نظر گرفتن اين مطلب كه مثبت معين می باشد (هر عنصر واقع بر قطر اين ماتريس نمايانگر مجموع مربعات مقادير يك متغيير مستقل مي‌باشد) در نتيجه مجموع مربعات باقيمانده‌ها را به حداقل مي‌رساند.

به گونه كلي در روشهاي رگرسيون براي بازسازي خلاء‌هاي آماري ،آمار ايستگاه تحت بررسي را متغيير وابسته و آمار ايستگاههاي مجاور (كه انتخاب آن‌ها شرايطي دارد كه در ادامه توضیح داده خواهد گردید) به عنوان متغييرهاي مستقل مقصود مي‌كنيم. بعد از يافتن ضرائب مدل به ازاء مقادير متغييرهاي مستقل مقدار متغيير وابسته (همان خلاء آماري) را پيدا مي‌كنيم.

3-3-2- روش نسبت نرمال

در اين روش آغاز ايستگاههايي كه داراي آمار طولاني مدت بوده و شرايط جغرافيايي و اقليمي يكساني با ايستگاه ناقص دارند به عنوان ايستگاه‌هاي شاهد انتخاب مي‌شوند. بارندگي در ايستگاه ناقص متناسب با نسبت بين ميانگين بارندگي در آن به ميانگين بارندگي در ايستگاه شاهد ضربدر بارندگي همزمان ايستگاه شاهد مي‌باشد كه از طريق فرمول زير به دست مي‌آيد:

(3-25)                                     

= بارندگي ايستگاه ناقص

= نرمال بارندگي ايستگاه ناقص

= نرمال بارندگي ايستگاه‌هاي شاهد

= بارندگي ايستگاه‌هاي شاهد همزمان با بارندگي ايستگاه ناقص

3-3-3- روش عكس فاصله

اين روش كه آغاز در سازمان هواشناسي آمريكا به كار گرفته گردید بدين صورت می باشد كه پس از مشخص كردن موقعيت ايستگاههاي منطقه بر روي نقشه توپوگرافي كه با بهره گیری از مختصات جغرافيايي آنها صورت مي‌گيرد ايستگاه ناقص را به عنوان مركز محور مختصات قرار داده و سپس مختصات هر يك از ايستگاههاي اطراف آن را نسبت به اين محور مختصات بدست مي‌آوريم مسلم می باشد كه ايستگاههاي نزديكتر به ايستگاه ناقص سهم بيشتري در بازسازي آن داشته و در نتيجه بايد ضريب وزني بيشتري به آن اختصاص يابد اين ضريب وزني از طريق فرمول زير و براي هر يك از ايستگاهها محاسبه مي‌گردد:

(3-26)                                                                              

W = ضريب وزني ايستگاه شاهد

X,y= طول و عرض مختصاتي ايستگاه شاهد

سپس بارندگي در ايستگاه ناقص از فرمول زير محاسبه مي‌گردد:

(3-27)                                               

3-3-4- روش‌هاي زمين آماري[1]

در بررسي‌هاي آمار كلاسيك نمونه‌هايي كه از كل جامعه به مقصود شناخت آن برداشت مي‌شوند فاقد اطلاعات مكاني در فضا بوده در نتيجه مقدار اندازه‌گيري شده يك كميت يعني در يك نمونه خالص هيچگونه اطلاعي در مورد مقدار همان كميت در نمونه‌گيري به فاصله معين و معلوم در بر نخواهد داشت. در حاليكه در زمين آمار علاوه بر مقدار يك كميت معين در يك نمونه وضعيت مكاني نمونه نيز مورد توجه قرار مي‌گيرد. بدين لحاظ مي‌توان موقعيت مكاني نمونه‌ها را همراه با مقدار كميت مورد نظر يك جا مورد تحليل قرار داد. به عبارت ديگر بايد بتوان بين مقادير مختلف يك كميت در جامعه نمونه‌ها و فاصله نمونه‌ها و جهت قرارگيري آنها نسبت به هم ارتباطي مستقر كرد. اين ارتباط مكاني (فاصله‌اي و حقيقي) بين مقدار يك كميت در جامعه نمونه‌هاي برداشت شده ممكن می باشد در قالبهاي رياضي قابل بيان باشد به اين قالبهاي رياضي ساختار مكاني گفته مي‌گردد. بنابراين در زمين آمار آغاز به بررسي وجود يا عدم وجود ساختار مكاني بين داده‌ها پرداخته مي‌گردد و سپس در صورت وجود ساختار مكاني تحليل داده‌ها انجام مي‌گيرد البته ممكن می باشد نمونه‌هاي مجاور تا فاصله معيني در قالب ساختار مكاني بهم وابسته باشند. در اين حالت بديهي می باشد كه ميزان تشابه بين مقادير مربوط به نمونه‌هاي نزديكتر احتمالاً بيشتر می باشد. زيرا در صورت وجود ساختار فضايي، تغييرات ايجاد شده در يك فضاي معين شانس بيشتري براي تاثيرگذاري روي فضاهاي نزديك به خود را نسبت به فضاهاي دورتر از خود دارند. بنابراين از ديدگاه زمين آمار هر نمونه تا يك حداكثر فاصله معين با نمونه‌هاي اطراف خود ارتباط دارد. اين فاصله حداكثر كه دامنه تاثير ناميده مي‌گردد داراي اهميت فراواني می باشد و در حقيقت نشان دهنده فاصله‌ايست كه در آن مي‌توان از تخمينگرهاي زمين آماري بهره گیری كرد. با در نظر داشتن توضيحات بالا معلوم مي‌گردد كه در زمين آمار مي‌توان با بهره گیری از داده‌هاي يك كميت در مختصات معلوم، مقدار همان كميت در نقطه‌اي با مختصات معلوم ديگر (واقع در درون دامنه‌اي كه ساختار مكاني حاكم می باشد) تخمين زد.

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را در شماره بندی انتهای صفحه بخوانید              

3-3-4-1- تعريف زمين آمار

زمين آمار به شاخه‌اي از علم آمار گفته مي‌گردد كه مبتني بر تئوري متغييرهاي ناحيه‌ايست كه توسط ماترون (1960) پايه‌گذاري شده می باشد و به اصطلاح با داده‌ها يا متغييرهاي مكاني سروكار دارد از اينرو مترادف با آمار مكاني می باشد. زمين آمار در مفهوم ديگر خود به كاربرد تمامي روشهاي آماري كه در علوم زمين مورد بهره گیری هستند مانند آمار كلاسيك و آمار فضايي اطلاق مي‌گردد.

3-3-4-2- روش‌هاي تخمين:

شما می توانید مطالب مشابه این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید                     

در زمين آمار، روشهاي مختلفي براي تخمين هست كه در زير دو روش عمده آن معرفي مي‌گردد.

3-3-4-2-1- روش ميانگين متحرك وزني[2]

در روش ميانگين متحرك وزني مقدار يك متغيير در نقطه‌اي كه نمونه‌برداري انجام نشده باشد از روي نقاط مجاورش با بهره گیری از فرمول زير تخمين زده مي‌گردد:

(3-28)                                                                  

= مقدار برآورد شده متغيير z در نقطه x

= مقدار نظاره شده z در نقطه

= وزن نسبت داده شده به مقدار نظاره شده i

n= تعداد مشاهدات

در روش WMA وزنها با در نظر داشتن فاصله هر نقطه معلوم نسبت به نقطه مجهول و بدون در نظر داشتن موقعيت دلخواه پراكندگي نقاط حول نقطه تخمين، تعيين مي‌شوند، بدين ترتيب كه به نقاط نزديكتر وزن بيشتري اختصاص داده مي‌گردد نقاط داراي فاصله يكسان وزن يكساني دريافت مي‌كنند. در واقع نقاط با فاصله كمتر اثر بيشتري در تخمين مي‌گذارند مقدار وزن در روش WMA از ارتباط زير محاسبه مي‌گردد:

(3-29)                                                                               

= فاصله نقطه نظاره شده iام تا نقطه تخمين زده شده

= توان وزن دهي فاصله و n تعداد نقاط همسايگي

توان در دقت برآورد تاثير مي‌گذاردبدين ترتيب كه توانهاي بزرگتر به نقاط نزديكتر وزنهاي بيشتري نسبت مي‌دهند در صورتيكه توانهاي كوچكتر وزنها را به گونه يكنواخت‌تري بين نقاط مجاور تقسيم مي‌كند در واقع در اين روش با كاهش ميزان نرم شدگي افزايش مي‌يابد. انتخاب توان در روش WMA به فاصله بين نقاط معلوم و مجهول بستگي دارد و مي‌توان از روش cross-validation توان مناسب را بدست آورد. اين تكنيك بر اين اساس می باشد كه هر بار يك نقطه نظاره‌اي حذف شده و براي آن از روي نقاط مجاور مقداري برآورد مي‌گردد سپس مقدار واقعي به محل قبلي برگردانده شده و براي تمامي نقاط شبكه اين اقدام تكرار مي‌گردد. در نهايت با در نظر داشتن مقادير نظاره شده و برآورد شده مقدار خطاي مربوط به هر توان محاسبه و با مقايسه آنها بهترين توان مشخص مي‌گردد.

3-3-4-2-2- روش كريجينگ

فرمول كلي تخمين كريجينگ به صورت زير می باشد:

(3-30)                                                               

= مقدار نظاره شده z در نقطه x

= مقدار تخمين زده شده z در نقطه x

= وزن يا اهميت نسبت داده شده به مقدار z در نقطه

به اين نوع كريجينگ، كريجينگ خطي مي‌گويند. زيرا ترتيب خطي از n داده می باشد. شرط بهره گیری از اين تخميگر آنست كه متغيير z توزيع نرمال داشته باشد. در صورتيكه متغيير مورد نظر توزيع نرمال نداشته باشد بايد از كريجنگ غير خطي بهره گیری كرد و يا مي‌توان آغاز تبديلي پيدا كرد كه توزيع مورد نظر را به نرمال تبديل كند و آنگاه روي داده‌هاي تبديل يافته كريجينگ خطي انجام داد از آنجا كه تخمينگر كريجنگ بهترين تخمين‌گر نااريب می باشد لذا بايد عاري از خطاي سيستماتيك باشد و واريانس تخمين آن نيز حداقل باشد. براي نيل به شرط عاري از خطا بودن بايستي ميانگين خطاي تخمين صفر باشد.

(3-31)                                                               

كه در آن :

= مقدار واقعي z در نقطه

= مقدار تخميني z در نقطه

E( ) به مفهوم اميد رياضي می باشد.

ارتباط فوق را مي‌توان به صورت زير نوشت:

(3-32)                                                          

در نتيجه مي‌توان نوشت:

(3-33)                                                      

و يا:

(3-34)                                                     

از طرفي كه m ميانگين مقدار z در تمام محيط می باشد كه به مختصات بستگي ندارد بنابراين ارتباط 3-34 را مي‌توان بدين صورت نوشت:

(3-35)                                                                         

كه در آن می باشد لذا بايد ارتباط زير مستقر باشد:

(3-36)                                                                                  

بنابراين نااريب بودن كريجينگ در شرايطي مستقر می باشد كه مجموع ضرائب كريجينگ معادل واحد باشد اما براي برقراري شرط دوم بايد واريانس تخمين را محاسبه و به حداقل رساند.

(3-37)

از طرفي ثابت مي‌گردد كه:

(3-38)                                                         

(3-39)                                         

و نيز :

(3-40)                                            

كه در اين روابط:

: مقدار هم تغيير نما در نقطه مورد تخمين (به ازاء h=0)

C0i: مقدار هم تغيير نما بين نقطه مورد تخمين و نمونه iام

Cij: مقدار هم تغيير نما بين نمونه i و نمونه j

: وزن نسبت داده شده به نمونه j,i

             (3-41)

از طرفي

                                                                         (3-42)

در نتيجه

                                                                         (3-43)

از جايگزيني مقدار تغيير نما به جاي هم تغيير نما و بهره گیری از به جاي واريانس تخمين معادله فوق به صورت زير در خواهد آمد:

                                     (3-44)

كه در آن:

: مقدار تغيير نما بين نمونه i و نقطه مورد تخمين

: مقدار تغيير نما در نقطه مورد تخمين (h=0)

: مقدار تغيير نما بين نمونه j,i

بدين ترتيب براي آنكه واريانس تخمين كريجينگ حداقل گردد لازم می باشد تابع برحسب ضرايب كريجينگ با رعايت شرط مي نيمم گردد. بنابراين برقراري شرط دوم منجر به حل مساله بهينه سازي محدود زير مي گردد:

                          (3-45)

اين مساله بهينه سازي را مي توان با بهره گیری از ضرائب لاگرانژ حل كرد با در نظر گرفتن ضرائب لاگرانژ بايد n مشتق جزئي زير برابر صفر باشد:

             i=1,2,…,n                           (3-46)

اين ارتباط در حقيقت يك دستگاه معادلات خطي يا n+1 معادله و n+1 مجهول (n مجهول و يك مجهول (ضرائب لاگرانژ)) مي باشد و با محاسبه مشتقات معادلات كريجينگ به صورت زير در مي آيد.


دیدگاهتان را بنویسید